Teraz zaczyna się zabawa!
Wiemy, że $30-$25=$5 Co nie?
$5-$3=$2 Prawda? No to w czym jest problem? Wszystko się zgadza?
Niezupełnie. Odpowiedzcie na to:
Każdy z trójki gości dał początkowo $10,00.
Każdy dostał z powrotem $1,00 reszty. To oznacza, że każdy zapłacił $9,00 co pomnożone przez 3 daje $27,00.
Dostawca (czyli "chłopak") zatrzymał sobie $2,00 napiwku. $27,00 plus $2,00 równa się $29,00.
Gdzie do jasnej jest jeszcze jeden dolar?
~~~~~~
No właśnie. Zadanie to obiegło już chyba cały internet. Od dawna ludzie na różnych portalach próbowali rozwiązać zagadkę i komentowali ją na milion sposobów. Często były to głosy stwierdzające głupotę twórcy zadania. Czy jednak takie osoby miały rację?
Aby odpowiedzieć Wam na to pytanie, zacytujemy kilka zdań z wikipedii.
Sofizmat (z gr. "sophisma" – wybieg, wykręt) czyli sztuka "wykręcania kota ogonem", jest to nazwa funkcjonująca w co najmniej trzech znaczeniach:
zwodniczy "dowód" matematyczny, pozornie poprawny, lecz faktycznie błędny, zawierający rozmyślnie wprowadzony błąd logiczny, trudny do wykrycia na pierwszy rzut oka;
wypowiedź lub sformułowanie, w którym świadomie został ukryty błąd rozumowania nadający pozory prawdy fałszywym twierdzeniom;
wszelka próba dowiedzenia swoich racji, bez względu na poprawność logiczną przedstawionej argumentacji.
Sposobem walki z sofizmatami jest unikanie niedomówień i wieloznaczności, przez stosowanie definicji wszędzie tam, gdzie jest to możliwe. Definicje ułatwiają ustalenie znaczeń spornych terminów, występujących w dyskusji. Uogólniając, wszelkie narzędzia, jakie proponuje logika, po których zastosowaniu wypowiedź staje się jasna, również pomagają w unikaniu sofizmatów.
Sofizmat odróżnić należy od paralogizmu, błędnego rozumowania czy wnioskowania obarczonego nieświadomym błędem logicznym.
Wracając do naszej zagadki - chyba nie ulega wątpliwości, że mamy tu do czynienia ze sofizmatem. Autor zabawił się z nami, pokazał wszystko krok po kroku w taki sposób, byśmy mu uwierzyli bez myślenia. Przecież jakbyśmy sami mieli obliczyć, ile zapłacili panowie za pizzę, to byśmy zrobili tak:
Każdy zapłacił $9, więc 3*$9=$27
Pizza kosztowała $25.
Dostawca zabrał $2 napiwku, czyli $27-$2=$25.
Czyli co? Wszystko się zgadza? Na to wygląda ;)
To dlatego autor sam próbuje przekonać nas do swoich racji, a nie daje nam wcześniej gotowego pytania. Nie chce, byśmy sami pomyśleli i znali odpowiedź. On chce się zabawić z naszym umysłem i celowo wprowadzić nas w błąd.
1 zł = 100 gr = 10 gr × 10 gr = 0,1 zł × 0,1 zł = 0,01 zł = 1 gr
Wniosek: 1 zł = 1 gr
Znów jesteśmy przeprowadzeni przez cały tok rozumowania, by uśpić naszą czujność ;)
W rzeczywistości 1 zł ≠ 10 gr × 10 gr, ponieważ:
Znów jesteśmy przeprowadzeni przez cały tok rozumowania, by uśpić naszą czujność ;)
W rzeczywistości 1 zł ≠ 10 gr × 10 gr, ponieważ:
10 gr × 10 gr = 100 gr² = 0,01 zł².
Prawdziwa równość wygląda zatem następująco:
1 zł = 100 gr = 10 × 10 gr = 10 × 0,1 zł = 1 zł (100 gr, a nie 1 gr)
~~~~~~~~******~~~~~~~~~******~~~~~~~~******~~~~~~~~~
Chcecie więcej? Na pewno chcecie! :)
Następna zagadka dotyczyć będzie trójkątów. Spójrzcie na rysunek.
W tym trójkącie mamy zaznaczone (jak widać) różnymi kolorami figury. Przestawiamy je tak, by otrzymać taki sam trójkąt (jak poniżej).
No ale chwila! Użyliśmy dokładnie tych samych figur, a tym razem brakuje nam jednego kwadracika! Jak to możliwe?! Magia! Jak chcecie, to możecie policzyć po kratkach, czy wszystkie figury na obu obrazkach są takie same. Możecie nawet je wydrukować, wyciąć i przyłożyć do siebie. Nic Wam to nie da, są one takie same.
W czym więc tkwi sekret?
Jak widzimy, zamieniły nam się miejscem dwa trójkąty (zielony i pomarańczowy(?)). No ale czy ktoś powiedział, że mają one takie same kąty wewnętrzne? Nie. No właśnie! Przyjrzyjcie się ramieniu AC. Kratki tu mogą pomóc - dzięki nim widać, że nie jest ono idealnie pod tym samym kątem. I te ledwo zauważalne różnice dają tak ogromny efekt, jakim jest brak kwadracika.
~~~~~~~~******~~~~~~~~~******~~~~~~~~******~~~~~~~~~
Przejdźmy teraz do przykładu trudniejszego (potrzebna jest tu wiedza z teorii pierścieni)
Rozważmy pierścień Z6 z przemiennymi działaniami dodawania i mnożenia modulo 6. Ponieważ
10 mod 6 = 4, to mamy, modulo 6 następujące równości:
2 * 5 =10 = 4 = 4 * 1 (mod 6)
Zatem mamy przystawanie 2 * 5 = 4 * 1 (mod 6).
Dzieląc obie strony równania przez 2, uzyskujemy:
5 = 2 (mod 6)
Zatem 5 = 2 w Z6.
Wyjaśnienie:
Nie można dzielić stronami przez 2 w Z6! W pierścieniach można skracać jedynie przez tak zwane
elementy regularne, to znaczy przez elementy niebędące dzielnikami zera. Przypomnijmy, iż dzielnikiem zera pierścienia R nazywamy każdy element pierścienia x należącego do R, dla którego istnieje taki niezerowy element y należący do R, że x*y = 0, gdzie 0 jest elementem neutralnym dodawania. Prawo skracania (lewostronnego lub prawostronnego, jeżeli mamy do czynienia z pierścieniem nieprzemiennym - to znaczy takim, w którym mnożeniem nie jest przemienne), co było widać na powyższym przykładzie, nie może dotyczyć dzielników zera.
Przykład został wzięty z pracy Mateusza Szymańskiego, która nosi tytuł "Niektóre sofizmaty matematyczne". Zachęcamy do zapoznania się z całością.
~~~~~~~~******~~~~~~~~~******~~~~~~~~******~~~~~~~~~
Jeżeli zaciekawił Was ten temat i chcecie spróbować swoich sił w sofizmatach, to polecamy wejść
Na zakończenie ostatnia zagadka:
Pewien władca postanowił, że przy wjeździe do jego państwa straż graniczna będzie pytała każdego gościa o cel wizyty, następnie przydzielona mu będzie ochrona służb specjalnych, czuwających by nic mu się nie stało i wyjechał zadowolony po zrealizowaniu celu. Jeśli jednak okaże się, że przyjezdny swojego celu nie zrealizował, powinien zostać zgładzony. Aby uniknąć nadużyć, wprowadzono surowe kary dla agentów, którzy zabiją kogoś, kto swój cel wizyty zrealizował. Co powinni zrobić agenci z przybyszem, który oświadcza, że przyjechał do ich kraju po to, aby go uśmiercili?
~~~~~~~~******~~~~~~~~~******~~~~~~~~******~~~~~~~~~
Jaka jest Wasza odpowiedź? Piszcie w komentarzach ;)
Nikt nie powiedział, że to agenci mają go zabić